最优解

优化模型的三个要素

• 决策变量
• 目标函数
• 约束条件

决策变量和约束条件可以有多个，但目标只有一个

我们可以使用Excel的solver插件或Python的scipy库等，来求解最优解

案例1

某自行车厂有2款产品，A产品利润150元，B产品利润160元

生产A产品和B产品分别需要如下工时，单位：小时

假设下一周生产可用工时已定，那么A产品和B产品分别生产多少量，才能实现利润最大化

第一步，确定决策变量

• a - 要生产A产品的数量
• b - 要生产B产品的数量

第二步，定义目标函数

目标函数：150a + 160b

通过调整a和b的值，来实现利润最大化

第三步，确定约束条件

4a + 5b <= 5610

1.5a + 2b <= 2200

1a + 0.8b <= 1200

a >= 0 && b >= 0

a和b都为整数（整数不做约束，会增加优化算法的复杂度，直接在返回值的转换下并人为验证下结果是否有误差）

import numpy as np
from scipy import optimize


# 目标函数（计算结果）
def calcNumber(x):
    return 150 * x[0] + 160 * x[1]


# 目标函数（minimize是求最小值的，我们需要的是最大值，所以将计算结果取反）
def objective(x):
    return -calcNumber(x)


# 约束条件（ineq表示大于等于（eq表示等于），fun表示约束函数）
cons = (
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: 5610 - (4 * x[0] + 5 * x[1])},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: 2200 - (1.5 * x[0] + 2 * x[1])},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: 1200 - (1 * x[0] + 0.8 * x[1])},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0]},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1]}
)

# 初始猜测值
x0 = np.array([100, 200])

# 最优解计算（SLSQP表示使用最小二乘法，disp:True显示收敛信息）
res = optimize.minimize(objective, x0, method='SLSQP', constraints=cons, options={"disp": True})

print(res)
# 输出计算结果
print(calcNumber([int(x) for x in res.x]))

案例2

某饮料公司有3个仓库，共有65吨混合饮料，下个月必须运送到配送中心，以便留出新的库存空间

A仓库15吨，B仓库20吨，C仓库30吨

然后该公司的配送中心也有发货的需求，到货量至少满足如下需求

D配送中心10吨，E配送中心13吨，F配送中心20吨

但是不同仓库和配送中心的距离不同，所以运输成本也是不同的，单位：元/吨

在不考虑单车荷载量的情况下，如何运输才能实现运输成本最低

第一步，确定决策变量

• ad - A仓库往D配送中心运输
• ae - A仓库往E配送中心运输
• af - A仓库往F配送中心运输
• bd - B仓库往D配送中心运输
• be - B仓库往E配送中心运输
• bf - B仓库往F配送中心运输
• cd - C仓库往D配送中心运输
• ce - C仓库往E配送中心运输
• cf - C仓库往F配送中心运输

第二步，定义目标函数

目标函数： 105ad + 135ae + 153af + 110bd + 140be + 137bf + 130cd + 132ce + 115cf

通过调整ad到cf的值，来实现成本最小化

第三步，确定约束条件

ad + ae + af = 15

bd + be + bf = 20

cd + ce + cf = 30

ad + bd + cd >= 10

ae + be + ce >= 13

af + bf + cf >= 20

ad到cf的值全部 >= 0

import numpy as np
from scipy import optimize


# 目标函数
def targetFunction(x):
    return 105 * x[0] + 135 * x[1] + 153 * x[2] + 110 * x[3] + 140 * x[4] + 137 * x[5] + 130 * x[6] + 132 * x[7] + 115 * \
           x[8]


# 约束条件，变量大于0在bounds中约束
cons = (
    {'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0] + x[1] + x[2] - 15},
    {'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[3] + x[4] + x[5] - 20},
    {'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[6] + x[7] + x[8] - 30},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] + x[3] + x[6] - 10},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] + x[4] + x[7] - 13},
    {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] + x[5] + x[8] - 20}
)

# 初始化猜测值
x0 = np.array([10] * 9)
# 9个变量的取值范围（最小值0，最大值不限制）
bounds = [(0, None)] * 9
# 最优解计算
res = optimize.minimize(targetFunction, x0, method='SLSQP', constraints=cons, bounds=bounds, options={"disp": True})

print(res)
# 输出结果
print(targetFunction(res.x))