总结

矩阵之间的关系

等价

• A通过初等变换得到B，记作：$A \cong B$
• A、B是同型矩阵，存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ=B

相似

• A、B是同阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得：$P^{-1}AP=B$

正交相似

• A、B是同阶方阵，如果存在正交矩阵P，使得：$P^{-1}AP=B$

合同

• A、B是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得：$C^TAC=B$

正交矩阵有个性质：$P^T=P^{-1}$，所以正交相似，也可以写成：$P^TAP=B$

• 正交相似一定相似、合同

等价只需要同型，不需要是方阵，而且是P、Q（2个可逆矩阵，条件相对较松）

• 相似、合同、正交相似一定等价

线性空间

数域：F是至少有2个数的数集，2个数的和、差、积、商（除数!=0）仍是F中的数（封闭的四则运算）

• 反例：整数集不是数域，如：2/3不是整数
• 有理数、实数、复数都能构成数域

V是非空集合、α,β...是向量、F是数域，满足如下条件，那么V就是F上的线性空间

• 加法（广义的加法，可以是新定义的加法，只要满足以下4条即可）
  • α+β=β+α
  • (α+β)+γ=α+(β+γ)
  • 0元素，α+0=α
  • 任给向量α，都有-α与之对应
• 数乘（广义的数乘，可以是新定义的数乘，只要满足以下4条即可）
  • 1α=α
  • k(lα)=(kl)α
  • (k+l)α=kα+lα
  • k(α+β)=kα+kβ

$R^n=\{ (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n) \quad \alpha_i \in R \quad i=1,2,...,n \}$，是n维线性空间（就是我们正常理解的线性空间）

V由全体的$m \times n$阶的矩阵构成，它这里的向量或者元素就是$m \times n$阶的矩阵

• 这里的加法是矩阵的加法
• 这里的数乘是矩阵的乘法

C[a,b]，表示[a,b]这个区域上全体实连续函数构成的集合

• 这里的加法是函数的加法
• 这里的数乘是函数的乘法

V={0}（零空间），可以是0元素、0向量、0矩阵

• 这里的加法是0+0=0
• 这里的数乘是k0=0

性质1：0元素是唯一的

性质2：负元素是唯一的

性质3：0（数）α=0（向量）、(-1)α=-α、k0（向量）=0（向量）

性质4：kα=0（向量） k=0（数） 或 α=0（向量）

基、维数、坐标

基：$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$满足（和极大线性无关组、基础解系是一样的）：

• $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$线性无关
• 任意向量均可由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$线性表示

维数：有几个分量就是几维

n维空间中，n个线性无关的向量组都是基

定理：假设V是n维空间，n个向量$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$是基<=>任意向量均可由$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$来线性表示

坐标：假设$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是基，$\alpha \in V$，$\alpha = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n$，那么$k_1,k_2,...,k_n$就是坐标，$[\alpha]=(k_1,k_2,...,k_n)$

举例：$\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$，这个系数就是坐标

定理：$B=\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \}$ （基） $\quad \alpha$的坐标$(a_1,a_2,...,a_n) \quad \beta$的坐标$(b_1,b_2,...,b_n)$，那么α+β的坐标是$(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$

定理：$B=\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \}$（基），那么kα的坐标就是$(ka_1,ka_2,...,ka_n)$

过渡矩阵

$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$和$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$都是基，那么这2组基之间有一个转换公式

假设：$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n = \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}} \end{pmatrix}$

那么$\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}} \end{pmatrix}$就是由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$到$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$的过渡矩阵