数列

参考视频

数列就是找规律

等比数列

等比数列求和公式：

$S_n = \begin{cases} na_1 \quad\quad (q=1)\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \quad\quad (q != 1) \end{cases}$

当 q = 1 时，很显然 $S_n = na_1$

当 q ≠ 1 时，$a_n = a_1q^{n-1}$

那么，$S_n = a_1q^{1-1} + a_1q^{2-1} + a_1q^{3-1} + ... + a_1q^{n-1}$

而，$qS_n = a_1q^1 + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} + a_1q^n$

则，$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$（中间项全部抵消的）

公式转换，$(1-q)S_n = a_1(1-q^n)$

最终得到，$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

练习题

一、求等比数列 -1,1/2,-1/4,1/8,...的前10项和及前n项和

q = (1/2) / -1 = -1/2

$S_{10} = -1 * \frac{1-(-1/2)^{10}}{1+1/2}$

$S_{10} = -\frac{2046}{3072} = -\frac{341}{512}$

$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

$S_n = \frac{-1(1-(-1/2)^n)}{1+1/2}$

$S_n = -1(1-(-1/2)^n) * 2/3$

$S_n = -2/3 + 2/3(-1/2)^n$

二、在等比数列$\{ a_n \}$中，$a_1=8,a_n=\frac{1}{2},S_n=\frac{31}{2}$，求q和n

$S_n = \frac{a_1 - a_nq}{1-q}$

$\frac{31}{2} = \frac{8-1/2q}{1-q}$

31 -31q = 16 - q

q = 1/2

$a_n = a_1q^{n-1}$

$1/2 = 8 * (1/2)^{n-1}$

$(1/2)^{n-1} = 1/16$

所以，n - 1 = 4

所以，n = 5

扩展

无限数列称为级数（series）

结果无限趋向于某一个值的级数，称为收敛级数，比如：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

幂级数：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-c)^n$

泰勒级数：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$，其中：$f^{(n)}$表示n阶导数

sin(x)、cos(x)、"最美公式"（欧拉恒等式）等，都是通过泰勒级数计算的

$sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} ...$

$cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} ...$

$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} ... \quad$ => $\quad e^{i\pi} + 1 = 0$

利息计算

假设张三向银行借1000块，月利率为10%，分5个月还清，并且每个月还款的金额一样，那么每个月还款的金额是多少呢？

是不是 $\frac{1000 \times (1+0.1)^5}{5} \approx 1611$ 呢？

这样算是不对的，因为这样相当于1000块一直放在那里，一直在算利息，算了5个月

但实际上每次去还钱的时候都减少了一部分，被减少的部分不应该再算利息了

假设每次还的钱是x

第一次还钱：1000(1+0.1) - x

第二次还钱：$[1000(1+0.1) - x] \cdot (1+0.1) - x = 1000(1+0.1)^2 - x(1+0.1) - x$

第三次还钱：$1000(1+0.1)^3 - x(1+0.1)^2 - x(1+0.1) - x$

第四次还钱：$1000(1+0.1)^4 - 1000(1+0.1)^3 - x(1+0.1)^2 - x(1+0.1) - x$

第五次还钱：$1000(1+0.1)^5 - 1000(1+0.1)^4 - 1000(1+0.1)^3 - x(1+0.1)^2 - x(1+0.1) - x$

因为第五次还钱后应该不欠钱了，所以上式等于零

利用等比数列求和公式，求得：

$x = \frac{1000(1+0.1)^5 \cdot 0.1}{(1+0.1)^5-1} \approx 263.8$

$5x \approx 1319$

我们实际生活中还房贷的等额本息就是这么算的

假设贷款100万，月利率0.4%，贷款30年

$x = \frac{1000000(1+0.004)^{360} \cdot 0.004 }{(1+0.004)^{360} -1 } \approx 5247$