向量

n个数（分量）$a_1,a_2,...,a_n$ 组成的有序（比如：长、宽、高）数组 $(a_1,a_2,...,a_n)$

向量的维数：有几个数就是几维

向量的符号通常用：α、β、γ

行向量、列向量、0向量、负向量

两个向量相等的前提条件：同维向量

证明：若k=0，那么kα=0成立

若k != 0，等式两边同时乘以$\frac{1}{k}$，$\frac{1}{k}k\alpha=\frac{1}{k}0$，kα=0成立，所以α=0

向量间的线性关系

β、α1、α2、...、αn都是m维向量，若存在k1、k2、...、kn，使得：$\beta=k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_n \alpha_n$

比如：$(1,2,3) = 1 \times (1,0,0) + 2 \times (0,1,0) + 3 \times (0,0,1)$

计算题（线性表示）

$\beta=(-3,2,4) \quad \alpha_1=(1,0,1) \quad \alpha_2=(2,1,0) \quad \alpha_3=(-1,1,-2)$

证明β可以用α线性表示

解：设$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$

$(-3,2,4)=k_1(1,0,1)+k_2(2,1,0)+k_3(-1,1,-2)$

$\begin{cases} k_1 + 2k_2 - k_3 = -3\\ k_2 + k_3 = 2\\ k_1 - 2k_3 = -4 \end{cases}$

把方程组解出来，如果有解，就能线性表示

解题技巧：不管给的向量是行向量还是列向量

向量组等价

相互线性表示：${ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m } \cong { \beta_1,\beta_2,...,\beta_n}$

反身性：${ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m } \cong { \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m }$

对称性：${ \beta_1,\beta_2,...,\beta_n } \cong { \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m }$

传递性：若 ${\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m } \cong { \beta_1,\beta_2,...,\beta_n }$ ， ${ \beta_1,\beta_2,...,\beta_n } \cong { \gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s }$ ，则：${ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m } \cong { \gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s }$

线性相关与线性无关

线性无关（三种定义方式）：

• 不是线性相关
• 找不到一组不全为0的 $k_1,k_2,...,k_n$
• $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n = 0$，$k_1,k_2,...,k_n$必全为0

推论1：向量组中两向量成比例，那么这个向量组一定线性相关（这2个向量可以抵消，其他的向量系数全为0即可）

推论2：含0向量的任意一个向量组必线性相关（0向量系数随便取（非0），其余的系数全为0）

推论3：一个0向量必线性相关

推论4：一个非0向量必线性无关

推论5：一个向量α线性相关的充要条件是α=0

推论6：如果$\alpha_1$ 到 $\alpha_r$线性相关，那么$\alpha_1$ 到 $\alpha_r$拼上$\alpha_r + 1$ 到 $\alpha_s$也线性相关

推论7：部分组线性相关 -> 整体组线性相关，整体组线性无关 -> 部分组线性无关

推论8：线性无关的向量组，接长（维数变大）后的向量组也线性无关。线性相关的向量组，截短后的向量组也线性相关

假设是3个3维的向量组成的向量组，该向量组线性无关。那么，k1=k2=k3=0。此时把每个向量接长（改成5维），k1、k2、k3依旧为0，即：还是线性无关

PS：如果齐次方程组，满足克莱姆法则，即：方程个数=未知数个数且D!=0，则只有0解

• 可以线性表示（方程有解），不能线性表示（方程无解）
• 线性相关（有非0解），线性无关（只有0解）

推论10：n维单位向量组是线性无关的（直接拿过来拼成行列式，计算出不等于0即可）

证明：因为线性相关，所以至少有一个k != 0，假设k1 != 0，其余的k=0，那么至少α1可由其余向量线性表示

$\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1}\alpha_2 - \frac{k_3}{k_1}\alpha_3 - ... - \frac{k_s}{k_1}\alpha_s$

α1 = 0

证明：$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_s\alpha_s + k_{s+1}\beta = 0$

因为$\alpha_1$ 到 $\alpha_s$线性无关，所以前面的k必定全等于0，所以，$k_{s+1}$必不等于0，所以β可以由$\alpha_1$ 到 $\alpha_s$线性表示

$\beta = -\frac{k_1}{k_{s+1}}\alpha_1-\frac{k_2}{k_{s+1}}\alpha_2-...-\frac{k_s}{k_{s+1}}\alpha_s$

再证唯一性：假设不唯一

$\beta = m_1\alpha_1 + m_2\alpha_2 + ... + m_s\alpha_s$

$\beta = n_1\alpha_1 + n_2\alpha_2 + ... + n_s\alpha_s$

$0 = (m_1-n_1)\alpha_1 + (m_2-n_2)\alpha_2 + ... + (m_s-n_s)\alpha_s$

因为$\alpha_1$ 到 $\alpha_s$线性无关，所以系数必定全为0，所以$m_1=n_1,m_2=n_2,...,m_s=n_s$

替换定理：假设$\alpha_1$ 到 $\alpha_s$线性无关，但是可由 $\beta_1$到$\beta_t$线性表示，则s <= t

逆否命题：$\alpha_1$ 到 $\alpha_s$可由 $\beta_1$到$\beta_t$线性表示，s > t，那么$\alpha_1$ 到 $\alpha_s$线性相关

推论：两个等价的线性无关组含向量的个数是相同的

证明：用替换定理分别线性表示，s<=t、t<=s，所以s=t

向量组的秩

举例：α1、α2、α3、α4、α5的部分组α1、α2

• α1、α2线性无关
• 每个向量均可由α1、α2线性表示

全是0的向量组没有极大线性无关组

一个线性无关的向量组，它的极大线性无关组就是它本身

任何一个向量组和它的极大线性无关组是等价的

等价的传递性：极大无关组 $\cong$ 向量组 $\cong$ 另一个极大无关组

向量组的秩：极大线性无关组的含向量个数。0 <= $r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$ <= s，实际应该小于等于min(向量的个数,向量的维数)

$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性无关 <=> r=s

$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性相关 <=> r<s

定理： $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$表示，$r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$ <= $r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t)$

如果两个向量组等价，那么它们的秩相等

矩阵的行秩和列秩

行秩：行向量组的秩

列秩：列向量组的秩

r(AB) <= min(r(A),r(B))

计算题（线性相关与线性无关）

求：α1、α2、α3、α4的一个极大线性无关组，并给出其余向量用该极大线性无关组来表示的线性表达式

$\alpha = \begin{pmatrix} 1&2&{-2}&3\\ {-2}&{-4}&4&{-6}\\ 2&8&{-2}&0\\ {-1}&0&3&{-6} \end{pmatrix} \quad -> \quad \beta = \begin{pmatrix} 1&0&{-3}&6\\ 0&1&{\frac{1}{2}}&{-\frac{3}{2}}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$

1. 不管原向量是行还是列，均按列构成矩阵
2. 只做初等行变换，化为行简化阶梯形
3. 首非0元所在的列做极大线性无关组（β1、β2）
4. 其余的向量的表示系数直接写出来即可

$\beta_3 = -3\beta_1+\frac{1}{2}\beta_2$

$\beta_4 = 6\beta_1-\frac{3}{2}\beta_2$

所以，α1、α2是极大线性无关组

$\alpha_3 = -3\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2$

$\alpha_4 = 6\alpha_1-\frac{3}{2}\alpha_2$