线性方程组

鸡兔同笼问题，鸡、兔共8只，腿共20只

$\begin{cases} x+y=8\\ 2x+4y=20 \end{cases} \begin{cases} x+y=8\\ 2y=4 \end{cases} \begin{cases} x+y=8\\ y=2 \end{cases} \begin{cases} x=6\\ y=2 \end{cases}$

• 交换两方程
• 用非0数乘以某方程
• 某方程的k倍加到另一方程

$\begin{bmatrix} 1&1&8\\ 2&4&20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1&8\\ 0&2&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1&8\\ 0&1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&6\\ 0&1&2 \end{bmatrix}$

有解判定

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2-x_3=-3\\ 2x_1+9x_2+10x_3=11 \end{cases}$

$\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&-1\\ 2&9&10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&-1&-3\\ 2&9&10&11 \end{bmatrix}$

$x_1\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 9 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -3\\ 11 \end{bmatrix} \quad x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$

唯一解、无穷多解、无解

$\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&3 \end{bmatrix} \begin{cases} x_1=1\\ x_2=2\\ x_3=3 \end{cases}$

其中，$x_1,x_2$叫作一般解，$x_3$叫作自由未知量，该方程组叫作同解方程组

$\begin{bmatrix} 1&0&1&5\\ 0&1&1&9\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{cases} x_1=5-x_3\\ x_2=9-x_3 \end{cases}$

$\begin{bmatrix} 1&0&1&3\\ 0&1&0&4\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{cases} x_1=3-x_3\\ x_2=4\\ 0=1\end{cases}$

齐次线性方程组

齐次线性方程组一定有解，至少有0解

齐次方程组，如果能找到一个非0解，那么就能找到无穷多个非0解

如果齐次方程组，方程个数<未知量的个数，那么齐次方程一定有非0解（r(A)<=min(m,n)=m<n）（n+1个n维向量一定线性相关）

方程个数=未知量的个数，有非0解 <=> |A|=0

方程个数=未知量的个数，只有0解 <=> |A| != 0

齐次线性方程组解题的时候不要用$\overline A$了，直接用A就行了，因为右边全是0

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组，Ax=0

A($\eta_1 + \eta_2$) = $A\eta_1 + A\eta_2$ = 0 + 0 = 0

$A(c\eta) = cA\eta = c \cdot 0 = 0$

• $\eta_1,\eta_2,...,\eta_s$线性无关
• 任意解可由$\eta_1,\eta_2,...,\eta_s$线性表示

$\begin{bmatrix} 1&0&{-\frac{9}{4}}&{-\frac{3}{4}}&{\frac{1}{4}}\\ 0&1&{\frac{3}{4}}&{-\frac{7}{4}}&{\frac{5}{4}}\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{cases} x_1=\frac{9}{4}x_3 + \frac{3}{4}x_4 - \frac{1}{4}x_5\\ x_2=-\frac{3}{4}x_3 + \frac{7}{4}x_4 - \frac{5}{4}x_5 \end{cases}$

$x_3,x_4,x_5$是自由未知量，令$\begin{bmatrix} x_3\\ x_4\\ x_5 \end{bmatrix}$取$\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ 得 $\eta_1 = \begin{bmatrix} {\frac{9}{4}}\\ {-\frac{3}{4}}\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} , \eta_2 = \begin{bmatrix} {\frac{3}{4}}\\ {\frac{7}{4}}\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} , \eta_3 = \begin{bmatrix} {-\frac{1}{4}}\\ {-\frac{5}{4}}\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$\eta_1,\eta_2,\eta_3$是基础解系

因为，$\eta_1,\eta_2,\eta_3$线性无关

任意解都可由$\eta_1,\eta_2,\eta_3$线性表示

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\frac{9}{4}x_3 + \frac{3}{4}x_4 - \frac{1}{4}x_5}\\ {-\frac{3}{4}x_3 + \frac{7}{4}x_4 - \frac{5}{4}x_5}\\ {x_3 + 0x_4 + 0x_5}\\ {0x_3 + x_4 + 0x_5}\\ {0x_3 + 0x_4 + x_5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\frac{9}{4}x_3}\\ {-\frac{3}{4}x_3}\\ x_3\\ 0x_3\\ 0x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {\frac{3}{4}x_4}\\ {\frac{7}{4}x_4}\\ 0x_4\\ x_4\\ 0x_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {-\frac{1}{4}x_5}\\ {-\frac{5}{4}x_5}\\ 0x_5\\ 0x_5\\ x_5 \end{bmatrix} = x_3\eta_1 + x_4\eta_2 + x_5\eta_3$

基础解系解的个数是，n-r(A)

证：把B转换成向量，$B=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s)$，$AB=A(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s)=A\beta_1,A\beta_2,...,A\beta_s=(0,0,...,0)$

$A\beta_i = 0$，i=1,2,...,s，$\beta_i$是A(x)=0的解

如果r(A)=n，有唯一0解，则$\beta_i=0$，则B是0矩阵，则r(A)+r(B)<=n中的r(B)可以拿掉，r(A)<=n，满足r(A)=n，成立

如果r(A)<n，有无穷多解，基础解系中有n-r(A)个解，所以$r(B)=r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s)<=n-r(A)$

所以，r(A)+r(B)<=n成立

非齐次线性方程组

非齐次 Ax=b -> Ax=0（齐次方程是非齐次方程的导出组）

$A(\alpha_1-\alpha_2) = A\alpha_1 - A\alpha_2 = b - b = 0$

$A(\alpha_0 + \eta) = A\alpha_0 + A\eta = b + 0 = b$

非齐次方程组解的结构

如果$\alpha_0$是Ax=b的一个解（特解），$\eta$是Ax=0的一个通解

$\eta = c_1\eta_1 + c_2\eta_2 + ... + c_{n-r}\eta_{n-r} \quad\quad \eta_1,\eta_2,...,\eta_{n-r}$是Ax=0的基础解系

所以，$\alpha_0 + c_1\eta_1 + c_2\eta_2 + ... + c_{n-r}\eta_{n-r}$是Ax=b的通解（全部解）

计算题

$\overline A = \begin{bmatrix} 1&5&{-1}&{-1}&{-1}\\ 1&{-2}&1&3&3\\ 3&8&{-1}&1&1\\ 1&{-9}&3&7&7 \end{bmatrix} -> \begin{bmatrix} 1&0&{\frac{3}{7}}&{\frac{13}{7}}&{\frac{13}{7}}\\ 0&1&{-\frac{2}{7}}&{-\frac{4}{7}}&{-\frac{4}{7}}\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} x_1 = \frac{13}{7}-\frac{3}{7}x_3-\frac{13}{7}x_4\\ x_2 = -\frac{4}{7}+\frac{2}{7}x_3+\frac{4}{7}x_4 \end{cases}$

$x_3,x_4$是自由未知量

取$(x_3,x_4)^T = (0,0)^T$代入

则$\alpha_0 = (\frac{13}{7},-\frac{4}{7},0,0)^T$是Ax=b的一个特解

A的行简化阶梯形就是$\overline A$的行简化阶梯形去掉最右边的那一列（虚线右边的那一列）

$A = \begin{bmatrix} 1&0&{\frac{3}{7}}&{\frac{13}{7}}\\ 0&1&{-\frac{2}{7}}&{-\frac{4}{7}}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$

上面A化成行简化阶梯形的步骤可以不写

直接简写为：导出组的同解方程组为：

$\begin{cases} x_1 = -\frac{3}{7}x_3-\frac{13}{7}x_4\\ x_2 = \frac{2}{7}x_3+\frac{4}{7}x_4 \end{cases}$

$x_3,x_4$是自由未知量，令$(x_3,x_4)^T$ 分别为 $(7,0)^T,(0,7)^T$代入

$\eta_1 = \begin{bmatrix} -3\\ 2\\ 7\\ 0 \end{bmatrix} \eta_2 = \begin{bmatrix} -13\\ 4\\ 0\\ 7 \end{bmatrix}$

$\alpha_0 + c_1\eta_1 + c_2\eta_2$，计算出结果即可

• 写出$\overline A$，只做初等行变换，化为行简化阶梯形
• 非零行的首非零元的1，留在左边，其余挪到右边
• 写出非齐次方程组的同解方程组，指出谁是自由未知量（不在左边的都是自由未知量）
• 令自由未知量均取0，得Ax=b的一个特解
• 写出导出组的同解方程组（令非齐次方程组的同解方程组的常数项均为0，得Ax=0的同解方程组）
• 令自由未知量取(1,0,0...),(0,1,0...)...，得Ax=0的基础解系
• 特解 + Ax=0的基础解系的线性组合