复数

参考视频

假设我们要求解 x2−2=0 x^2 - 2 = 0 的方程，我们在有理数范围内无解，于是就引入实数（有理数+无理数）

假设我们要求解 x2+1=0 x^2 + 1 = 0 的方程，我们在实数范围内无解，于是就引入了复数（实数+虚数）

−1=i,i2=−1 \sqrt{-1} = i, i^2 = -1

运算的几何意义

加减乘除可以改变一维数轴上每一个点的水平位置

加法和减法可以对数轴上的每一个点进行向右或向左平移

乘法和除法可以对数轴上的每一个点相对于圆点的距离进行水平的拉长或缩短

乘法和除法中如果出现负号，相当于较圆点的距离发生了一个反向的操作

那么，引入i以后，1+i,1×i1 + i , 1 \times i又意味着什么呢

1×i×i=−1,1×i×i×i×i=1 1 \times i \times i = -1 , 1 \times i \times i \times i \times i = 1

什么东西进行2次操作后，它反向了，进行4次操作后，它又回到了原来的位置上，那就是旋转

每次操作都绕着圆点进行90度的旋转，4次之后就回到了原来的位置上

至此，我们就确定了i的位置，i也有了它的含义

  • 加i相当于向上移动一个单位
  • 减i相当于向下移动一个单位
  • 乘i相当于绕着圆点旋转90度
  • 除i相当于绕着圆点反向旋转90度

如果把这个平面铺开就能找到所有的复数

复数的2个概念

每一个复数都有一个到圆点的距离，我们把这段距离称之为复数的模

每一个复数和圆点的连线都会和圆点右方正半轴形成一个夹角，我们把这个夹角称之为复数的辐角

这样我们就可以对复数的乘法做一个定义，每一次我们进行复数相乘的时候

  • 我们会旋转乘的那个复数的辐角
  • 我们的长度会乘以乘的那个复数的模长

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3次方程求根公式

p = e^xita 复数和e的关系

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