矩阵

$\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}} \end{pmatrix}$

像上面这样组成的数表，叫作：$m \times n$矩阵

m：行数，n：列数，$a_{ij}$元素

矩阵一般用大写符号表示，A、B、C、E...都行，D一般留给行列式

如：$A_{2\times3}$

• 实矩阵：全是实数的矩阵
• 复矩阵：全是复数的矩阵
• 行矩阵：只有一行的矩阵
• 列矩阵：只有一列的矩阵
• 0矩阵：元素全为0的矩阵
• 负矩阵：所有元素取反后的矩阵，-A
• 方阵：行数列数相等的矩阵，$A_n$
• 单位阵：对角线全为1，其余位置全为0，常用：E、I表示，I容易跟1搞混，所以习惯于用E
• 同型矩阵：行列数相同的两个矩阵为同型矩阵（矩阵相同的前提为同型矩阵）

只有一个数的矩阵可以不加括号

矩阵的计算（一）

下面的0表示同型的0矩阵

• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)
• A+0=A
• A+(-A)=0

A+B=C <=> A=C-B

• k(A+B)=kA+kB
• (k+c)A=kA+cA
• k(cA)=(kc)A

矩阵的乘法

矩阵相乘的前提：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数

结果矩阵形状：结果行数=第一个矩阵的行数，结果列数=第二个矩阵的列数

$A_{3\times2} \times B_{2\times3} = C_{3\times3}$

一、大部分情况下：AB != BA

AB有意义的时候，BA不一定有意义 比如：$A_{3\times2} \times B_{2\times5}$

如果AB=BA，则A、B是可交换的（如果两个矩阵可交换，则它们必定是同阶的方阵）

AB可以读成：A左乘B或B右乘A

二、AB=0不能推出A=0或B=0

三、AB=AC A!=0 不能推出 B=C

$A=\begin{pmatrix} 2&0\\ -1&0 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&3 \end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 0&0\\ 2&4 \end{pmatrix}$

矩阵相乘（满足七字口诀）：

与0矩阵相乘，结果等于0矩阵

一、结合：(AB)C=A(BC)

二、分配：(A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB

三、k(AB)=(kA)B=A(kB)

$\begin{cases} x_1 = y_1 - y_2\\ x_2 = y_1 + y_2 \end{cases}$

$A=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix}$

幂运算

A必须是方阵

$A^k = AAA...AAA$ 共k个A相乘

$A^0 = E$

$A^{k1}A^{k2}=A^{k1+k2}$

$A^{k1^{k2}}=A^{k1k2}$

$(AB)^k \ != A^kB^k$

以$(AB)^2 \ != A^2B^2$为例

$(A+B)^2 \ != A^2 + 2AB + B^2$

$(A-B)^2 \ != A^2 - 2AB + B^2$

$(A+E)^2 \ = A^2 + 2AE + E^2$

$(A-E)^2 \ = A^2 - 2AE + E^2$

矩阵的计算（二）

$A=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}$

求：$(AB)^{10}$

BA=6

$AB=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}$

把BA提出来，共9个，所以等于 $6^9AB$

矩阵的转置

一、$(A^T)^T=A$

二、$(A+B)^T = A^T + B^T$，推广：$(A+B+C)^T = A^T + B^T + C^T$

三、$(kA)^T = kA^T$

四、$(AB)^T = B^TA^T$，推广：$(ABCD)^T = D^TC^TB^TA^T$

数量矩阵

0矩阵和单位矩阵是特殊的数量矩阵

对角型矩阵

数量矩阵是一种特殊的对角型矩阵

diag(a1,a2,...,an)

$\begin{pmatrix} k_1&0&0\\ 0&k_2&0\\ 0&0&k_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&2&2\\ 8&8&8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1&2k_1&3k_1\\ 2k_2&2k_2&2k_2\\ 8k_3&8k_3&8k_3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&2&2\\ 8&8&8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} k_1&0&0\\ 0&k_2&0\\ 0&0&k_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1&2k_2&3k_3\\ 2k_1&2k_2&2k_3\\ 8k_1&8k_2&8k_3 \end{pmatrix}$

三角形矩阵

定义跟行列式类似

对称矩阵

定义跟行列式类似

A、B同阶对称 <=> AB可交换

• $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$
• $(A-B)^T = A^T - B^T = A-B$
• $(kA)^T = kA^T = kA$
• $(AB)^T=B^TA^T=BA \ != AB$

反对称矩阵

定义跟行列式类似

方阵的行列式

$A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{pmatrix} \quad |A| = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{vmatrix}$

一、$|A^T|=|A|$

二、$|kA|=k^n|A|$

三、$|AB| = |A| \cdot |B|$，推广：$|ABC| = |A| \cdot |B| \cdot |C|$

伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵

求所有元素的代数余子式

按行求的代数余子式按列放（转置）构成一个新的矩阵，就叫伴随矩阵。符号为：$A^*$

$\begin{bmatrix} {A_{11}}&{A_{21}}&{\cdots}&{A_{n1}}\\ {A_{12}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{n2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{1n}}&{A_{2n}}&{\cdots}&{A_{nn}} \end{bmatrix}$

$AA^*=|A|E$ => $|AA^*|=||A|E|$ => $|A| \cdot |A^*|= |A|^n \cdot |E|$ => $|A^*|= |A|^{n-1}$

逆矩阵

永远不要把矩阵放在分母上

定义：n阶方阵A，存在同阶方阵B，且AB=BA=E，则A可逆。记作：$A^{-1}=B$

一、未必所有方阵均可逆

二、如果一个方阵可逆，那么它的逆矩阵是唯一的

反之，若方阵的行列式=0，那么这个方阵叫奇异或退化或降秩，该方阵不可逆

三、如果A可逆，$A^{-1}$可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$

四、如果A、B均可逆，那么AB可逆，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

证明：$(AB)^{-1}B^{-1}A^{-1}=E$，推广：$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

五、如果A可逆，那么$A^T$也可逆，$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

六、$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \quad$（k != 0 ）

七、如果A可逆，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$

八、如果A可逆，则$A^*$也可逆，并且$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

定理：A可逆的充要条件|A| != 0，$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

求逆矩阵有2种方法

1. 伴随矩阵法（计算量较大，使用较少）
2. 初等变换法

矩阵方程

$A = \begin{bmatrix} 4&2&3\\ 1&1&0\\ -1&2&3 \end{bmatrix}$

求：Ax = A + 2x

Ax - 2x = A

(A-2E)x = A

先证明：(A-2E)可逆，即计算：|A-2E| != 0

同时左乘：$(A-2E)^{-1}$

$x = (A-2E)^{-1}A$

• 提的时候注意方向（左乘、右乘）
• 矩阵不能和数字直接计算，借助单位阵
• $\frac{A}{A-2E}$，矩阵不能放分母，要用逆矩阵算
• 先判断是否可逆，再计算

标准形

$\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0} \end{bmatrix}$

分块矩阵

分块加法：$\begin{bmatrix} A_1&A_2\\ A_3&A_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1&B_2\\ B_3&B_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {A_1+B_1}&{A_2+B_2}\\ {A_3+B_3}&{A_4+B_4} \end{bmatrix}$

数乘：跟普通矩阵类似（把分块后的结果看成一个普通矩阵就行了）

乘法：跟普通矩阵类似，前提是子块可乘。普通矩阵和分块矩阵相乘时，把普通矩阵视为只有一个块的分块矩阵即可

...

$A=\begin{bmatrix} A_1&A_2&A_3\\ A_4&A_5&A_6 \end{bmatrix} \quad\quad A^T=\begin{bmatrix} {A_1^T}&{A_4^T}\\ {A_2^T}&{A_5^T}\\ {A_3^T}&{A_6^T} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A&0&0\\ 0&B&0\\ 0&0&C \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} {A^{-1}}&0&0\\ 0&{B^{-1}}&0\\ 0&0&{C^{-1}} \end{bmatrix}$