极限

数列的极限

数列：x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n（无穷数列）{ xnx_n }

里面的每一个元素叫做项，如：第一项、第n项。公式叫做通项公式

单调递增：x1<=x2<=...<=xnx_1<=x_2<=...<=x_n

单调递减：x1>=x2>=...>=xnx_1>=x_2>=...>=x_n

有界：∣xn∣<=M|x_n|<=M

无界：不满足∣xn∣<=M|x_n|<=M

定义：设数列{ xnx_n }，若存在常数a，使得任给ϵ>0 \epsilon > 0 ，总存在N，使得n > N时，有∣xn−a∣<ϵ|x_n-a| < \epsilon ，则{ xn x_n }以a为极限（或者说{ xn x_n }收敛于a）

limx→+∞xn=a\displaystyle\lim_{x\to + \infty} x_n = a

性质1：如果{ xnx_n }收敛，那么极限唯一

性质2：如果{ xnx_n }收敛，那么{ xnx_n }有界

  • 有界是收敛的必要条件，不是充分条件
  • 单调且有界，才是收敛的

性质3：从数列{ xkx_k }中抽取子数列{ xknx_{k_n} }（保证先后顺序不变），则：kn>=nk_n >= n

性质4：如果{ xnx_n }收敛于a，那么任何子数列也收敛于a

  • 推论1：如果找到任意一个子数列不收敛，那么原数列也不收敛（发散）
  • 推论2：如果找到2个子数列都收敛，但是极限不同，那么原数列也是发散的
  • 推论3：原数列收敛<=>奇数列、偶数列收敛且极限相同

函数的极限

定义：设函数f(x)，若存在常数a，使得任给ϵ>0 \epsilon > 0 ，总存在X，使得|x| > X时，有∣f(x)−a∣<ϵ|f(x)-a| < \epsilon ，则f(x)以a为极限

limx→∞f(x)=a\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = a （PS：此处的∞代表正无穷和负无穷）

0<∣x−x0∣<δ 0 < | x - x_0| < \delta

左极限（左边向右边逼近）：x−>x0−,0<x0−x<δ x -> x_0^{-} , 0 < x_0 - x < \delta

limx→x0−f(x)=a\displaystyle\lim_{x \to x_0^{-}} f(x) = a

右极限（右边向左边逼近）：x−>x0+,0<x−x0<δ x -> x_0^{+} , 0 < x - x_0 < \delta

limx→x0+f(x)=a\displaystyle\lim_{x \to x_0^{+}} f(x) = a

x趋向于 x0x_0 有极限 <=> 存在左极限和右极限且左右极限相等

  • 推论1：左右极限不存在，x−>x0 x->x_0 不存在
  • 推论2：左右极限存在但不相等，x−>x0 x->x_0 不存在

性质1：如果极限存在，一定是唯一的

性质2（局部有界性）：如果极限存在，一定存在 x0 x_0 的去心邻域，使得f(x)有界

性质3（局部保号性）：如果极限等于a并且a大于0，一定存在去心邻域，在去心领域中的f(x)>0

性质4：limx→x0f(x)=a\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = a <=> x -> x0 x_0 ，任意 { xn x_n }，limx→+∞xn−>x0limx→+∞f(xn)=a\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x_n -> x_0 \quad \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x_n) = a

数列的极限是离散的（数列中的下标n是整数），函数的极限是连续的
  • 推论1：一个 { xnx_n } 极限不存在，那么f(x)极限不存在
  • 推论2：两个 { xnx_n } 极限存在但不相等，那么f(x)极限不存在

无穷小与无穷大

  • 无穷小：向0逼近
  • 无穷大：向±∞逼近

无穷小

定理1：无穷小 * 有界的数 = 无穷小

举例：limx→0xsin1x=0 \displaystyle\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

定理2：limf(x)=a<=>f(x)=a+α(x)limα(x)=0 \lim f(x) = a <=> f(x) = a + \alpha(x) \quad \lim \alpha(x) = 0

无穷大

两个无穷大相乘，结果还是无穷大（同号：正无穷大，异号：负无穷大）

无穷大 + 有界的数 = 无穷大

定理3：如果f(x)是无穷大，那么 1f(x) \frac{1}{f(x)} 是无穷小（同一变化过程）

反之，如果f(x)是无穷小，那么 1f(x) \frac{1}{f(x)} 是无穷大（同一变化过程）

无穷相关计算（不确定的需要根据具体变化过程来计算）

  • (+∞) - (+∞) = 不确定（假设x是+∞，x+1-x和x+2-x的值无法确定）
  • (+∞) + (+∞) = +∞
  • (-∞) - (-∞) = 不确定
  • (-∞) + (-∞) = -∞
  • (+∞) + (-∞) = 不确定
  • ...

极限的运算法则

若 limf(x)=a,limg(x)=b \lim f(x) = a , \lim g(x) = b ，极限存在

  • limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x)=a±b \lim {f(x) \pm g(x)} = \lim f(x) \pm \lim g(x) = a \pm b
  • limf(x)⋅g(x)=limf(x)⋅limg(x)=a⋅b \lim {f(x) \cdot g(x)} = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = a \cdot b
  • limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=abb!=0 \lim { \frac{f(x)} {g(x)} } = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{a}{b} \quad b != 0

同理，n个极限四则运算同上，但必须是有限个

以及，常数、与x无关的变量等，也适用

极限存在的准则

夹逼定理：f(x)、g(x)、h(x)，满足在 U(x^0,r) U(\hat x_0, r) 去心邻域中，g(x) <= f(x) <= h(x)

当limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=a \displaystyle\lim_{x \to x_0 }g(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0 }h(x) = a 时，limx→x0f(x)=a \displaystyle\lim_{x \to x_0 }f(x) = a

定理2：单调有界的数列必有极限

  • 单调增有上界，必有极限
  • 单调减有下界，必有极限

两个重要极限

limx→0sinxx=1 \displaystyle\lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x} = 1 => limx→0xsinx=1 \displaystyle\lim_{x \to 0 } \frac{x}{\sin x} = 1

limn→∞(1+1n)n=e \displaystyle\lim_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n})^n = e

无穷小的比较

无穷小的比较就是比较趋于0的速度

x -> 0 的速度比 x2x^2 -> 0 的速度慢，比x\sqrt{x} -> 0 的速度快

速度更快的叫高阶无穷小 f(x)=o(gx)，速度较慢的叫低阶无穷小

如果两个极限的比值等于常数C（C!=0），叫同阶无穷小。如果C=1，那么就叫作等价无穷小 f(x) ~ g(x)

limxx2=∞ \lim \frac{x}{x^2} = \infty

limx2x=0 \lim \frac{x^2}{x} = 0

当 x -> 0

  • ln(1+x) ~ x
  • ex−1e^x - 1 ~ x
  • ax−1 a^x -1 ~ xlna
  • 1+xn−1 \sqrt[n]{1+x} - 1 ~ 1nx \frac{1}{n}x
  • sinx ~ x
  • tanx ~ x

无穷小替换

  • 两个无穷小之比，才用
  • 分子或分母是因子的乘积，可以选部分因子替换

f1(x) f_1(x) ~ f2(x)g1(x) f_2(x) \quad g_1(x) ~ g2(x) g_2(x) 且 limf2(x)g2(x)\lim \frac{f_2(x)}{g_2(x)} 存在

那么 limf1(x)g1(x)=limf2(x)g2(x) \lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)} = \lim \frac{f_2(x)}{g_2(x)} 存在

连续性

f(x)在x0x_0的领域内有定义，△x -> 0，△y -> 0

lim△x→0△y=lim△x→0[f(x0+△x)−f(x0)]=0 \displaystyle\lim_{\triangle x \to 0 } \triangle y = \displaystyle\lim_{\triangle x \to 0 } [f(x_0 + \triangle x) - f(x_0)] = 0

lim△x→x0f(x)=f(x0) \displaystyle\lim_{\triangle x \to x_0 } f(x) = f(x_0)

左连续 x -> x0− x_0^-，右连续 x -> x0+ x_0^+

两个连续的函数，+-×÷后，依然连续

多项式：a0xn+a1xn−1+...+an−1x+anx∈(−∞,+∞)a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n \quad x \in(-\infty,+\infty)，连续

分式：多项式 / 多项式（分母!=0），连续

复合：u=g(x) y=f(u) limx→x0f[g(x)]=f[limx→x0g(x)]\displaystyle\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = f[\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)]

limu(x)=alimv(x)=b \lim u(x) = a \quad \lim v(x) = b ，则：u(x)v(x)=ab u(x)^{v(x)} = a^b

闭区间上连续的性质

  • 有界性：[a,b]上连续，一定有界
  • 最值性：[a,b]上连续，一定有最大值和最小值
  • 介值性：[a,b]上连续，最小值：m，最大值：M。那么：m < c < M上必存在一个点x，使得：f(x) = c

零点存在定理，[a,b]上连续，f(a)f(b) < 0（异号），那么在(a, b)上一定存在一个点x，使得：f(x) = 0

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