二次型 & 有定性

二次型

以三元二次型举例：$x^2 + x^1y^1 + y^2 - 2z^2$（有几个变量就是几元，所有项必须是二次）

• $x^2 , y^2 , z^2$叫平方项
• xy叫交叉项

二次型->矩阵表达式

$x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - x_2x_3 + 2x_3^2 - 2x_1x_3$

• 平方项的系数直接做成主对角线元素
• 交叉项的系数除以2放到2个对称的相应位置上

系数位置如下：

$\begin{pmatrix} {x_1^2}&{\frac{1}{2} \times 2x_1x_2}&{\frac{1}{2} \times -2x_1x_3}\\ {\frac{1}{2} \times 2x_1x_2}&{x_2^2}&{\frac{1}{2} \times -x_2x_3}\\ {\frac{1}{2} \times -2x_1x_3}&{\frac{1}{2} \times -x_2x_3}&{2x_3^2} \end{pmatrix}$

$x^TAx$如下（其中A叫作二次型矩阵）：

$(x_1,x_2,x_3) \times \begin{pmatrix} 1&1&{-1}\\ 1&1&{-\frac{1}{2}}\\ {-1}&{-\frac{1}{2}}&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$

矩阵表达式->二次型

$\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&0&1\\ 3&1&{-1} \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1&1&{\frac{5}{2}}\\ 1&0&1\\ {\frac{5}{2}}&1&{-1} \end{pmatrix}$

• 主对接线元素直接做为平方项的系数
• 取主对角线右上角元素乘以2作为交叉项的系数

$x_1^2-x_3^2+2x_1x_2+5x_1x_3+2x_2x_3$

标准形 & 线性替换

• 如果$B = C^TAC =$ ∧，那么引入CY后的二次型是标准形
• 如果|C| != 0，那么这个线性替换叫作：可逆替换（或非退化替换或满秩替换或非奇异替换）
• 如果|C| = 0，那么这个线性替换叫作：退化替换

证明：$X = C_1Y , Y=C_2Z$

$X^TAX = (C_1Y)^TAC_1Y = Y^T(C_1^TAC_1)Y = (C_2Z)^T C_1^TAC_1C_2Z$

$= Z^T(C_2^TC_1^TAC_1C_2)Z = Z^T(C_1C_2)^TA(C_1C_2)Z$

证明：$f(X) = X^TAX = Y^T(C^TAC)Y$

验证$C^TAC$是对称矩阵，设$B=C^TAC$

$B^T=(C^TAC)^T=C^TA^T(C^T)^T=C^TAC=B$（A是对称矩阵，所以$A^T=A$）

$B^T=B$，所以$B=C^TAC$是对称的

合同

• 反身性：A和A合同，$A \simeq A$（$E^TAE=A$）
• 对称性：如果A和B合同，那么B和A也合同（证明：同时左乘$(C^T)^{-1}$和右乘$C^{-1}$）
• 传递性：如果A、B合同，B、C合同，那么A、C也合同（证明：$P^TAP=B , Q^TBQ=C , Q^TP^TAPQ=C , (PQ)^TA(PQ)=C$）

证明：$C^TAC=B$，A左乘一个可逆矩阵，右乘一个可逆矩阵，矩阵的秩不变

证明：$C^TAC=B , B=B^T$

$C^TAC = (C^TAC)^T = C^TA^TC$

同时左乘$(C^T)^{-1}$，右乘$C^{-1}$

$(C^T)^{-1}C^TACC^{-1} = (C^T)^{-1}C^TA^TCC^{-1}$

得：$A = A^T$

证明：$C^TAC=B$

因为两边都可逆，所以：$B^{-1} = (C^TAC)^{-1} = C^{-1}A^{-1}(C^T)^{-1} = C^{-1}A^{-1}(C^{-1})^T$

得：$[(C^{-1})^T]^TA^{-1}(C^{-1})^T$

证明：$C^TAC=B , B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC$

化二次型化为标准形

• 配方法
• 初等变换法
• 正交替换法（就是实对称矩阵对角化，因为正交矩阵肯定是对称的）

配方法

$x_1^2 - 3x_2^2 + 4x_3^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3$

$= x_1^2 - 2x_1(x_2-x_3) + (x_2-x_3)^2 - (x_2-x_3)^2 - 3x_2^2 + 4x_3^2 - 6x_2x_3$

$= (x_1 - x_2 + x_3)^2 -4x_2^2 - 4x_2x_3 + 3x_3^2$

$= (x_1 - x_2 + x_3)^2 -(4x_2^2 + 4x_2x_3+x_3^2) + x_3^2 + 3x_3^2$

$= (x_1 - x_2 + x_3)^2 - (2x_2+x_3)^2 + 4x_3^2$

$= y_1^2 - y_2^2 + 4y_3^2$

$\begin{cases} {y_1 =x_1-x_2+x_3}\\ {y_2=2x_2+x_3}\\ {y_3=x_3} \end{cases}$

写出线性替换（X=CY）：

$\begin{cases} {x_1 = \frac{2y_1+y_2+y_3}{2}}\\ {x_2=\frac{y_2-y_3}{2}}\\ {x_3=y_3} \end{cases}$

配方法（只有交叉项）

$2x_1x_2 - 4x_1x_3 + 10x_2x_3$

直接代入下式：

$\begin{cases} {x_1 = y_1 - y_2}\\ {x_2 = y_1 + y_2}\\ {x_3=y_3} \end{cases}$

得：$2y_1^2 - 2y_2^2 + 6y_1y_3 + 14y_2y_3$

再用上面的方式正常配方就可以了

初等变换法

$f(X) = X^TAX , X=CY , C^TC =$ ∧，①C=?，②∧=?

因为C可逆，$C=P_1P_2...P_s$

$(P_1P_2...P_s)^T A P_1P_2...P_s =$ ∧

$P_s^TP_2^T...P_1^T A P_1P_2...P_s =$ ∧

左乘一个单位阵，$EP_1P_2...P_s=C$

矩阵左乘一些初等矩阵，相当于做初等行变换

矩阵右乘一些初等矩阵，相当于做初等列变换

• 对A和E做同样的初等列变换
• 只对A做相应的初等行变换（相应的举例如下）
  • 交换1、3列，交换1、3行
  • 2乘以第3列，2乘以第3行
  • 2乘以第2列加到第3列，2乘以第2行加到第3行
• A化成对角阵之时，E化成的就是C

计算题（初等变换法）

$A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&2\\ 1&2&1 \end{pmatrix}$

解：$\begin{pmatrix} A\\ E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&2\\ 1&2&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

第1列乘以-1加到第2列（整体）：$\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&2\\ 1&1&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

第1行乘以-1加到第2行（只对A）：$\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

...

最终求得：$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\\ 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

∧ = $\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$

C = $\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

步骤省略：多套列行变换可以一起做

检查方法：成套变换后，矩阵还是对称的

规范形

$y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2$

• $x_1^2+x_2^2+x_3^2 \quad$ ✅
• $x_1^2-x_2^2+x_3^2 \quad$ ❌
• $x_1^2+x_2^2+x_4^2 \quad$ ❌

• 正项数：正惯性指数（正项的个数）
• 负项数：负惯性指数（负项的个数）
• 符号差：正项数-负项数

正交替换

参照：对角化 -> 计算步骤总结

有定性

• 正定：$X^TAX>0$，举例：$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+x_3^2$，f > 0
• 半正定：$X^TAX>=0$，举例：$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+0x_3^2$，f >= 0（x取$(0,0,1)^T$往里带）
• 负定：$X^TAX<0$，举例：$f(x_1,x_2,x_3)=-x_1^2-2x_2^2-x_3^2$，f < 0
• 半负定：$X^TAX<=0$，举例：$f(x_1,x_2,x_3)=-x_1^2-2x_2^2+0x_3^2$，f <= 0（x取$(0,0,1)^T$往里带）

先证必要性：代入(1,0,0...,0)，$f(1,0,0,...,0)=a_1>0$

依次一直取到，$f(0,0,0,...,1)=a_n>0$

再证充分性：因为$a_i>0$，$a_1x_1^2+a_2x_2^2+...+a_nx_n^2 >= 0$（平方和大于等于0）

又因为，X !=0，所以$a_1x_1^2+a_2x_2^2+...+a_nx_n^2 > 0$

证明：设：$f(X)=X^TAX$是正定的，X=CY

因为非退化，所以C可逆

$f(X)=X^TAX=(CY)^TACY=Y^TC^TACY$

任给Y != 0，只要证明$Y^TC^TACY > 0$，就是正定

因为X=CY，只要Y不等于0，X就不等于0，所以f(X)>0，所以正定

证明：$C^TAC=E$（A和单位阵合同）

同时左乘$(C^T)^{-1}$，右乘$C^{-1}$

$A = (C^T)^{-1}C^{-1} = (C^{-1})^T(C^{-1})$

把$C^{-1}$写成P，$P^TP$

$|A| = |P^T| \times |P| = |P|^2$

因为P可逆，所以P != 0

所以$|P|^2 > 0$

顺序主子式

判断 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2$ 是正定的？

$A = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

1阶顺序主子式（$a_{11}$）：|2| > 0

2阶顺序主子式（$a_{11}$到$a_{22}$）：$\begin{vmatrix} 2&1\\ 1&1 \end{vmatrix}$ > 0

3阶顺序主子式：|A| > 0

所以$f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2$ 是正定的

如果有4阶、5阶，依次类推

已知，$A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&0\\ 1&0&t \end{pmatrix}$是正定的，求t的取值范围？

1阶顺序主子式：|1| = 1 > 0

2阶顺序主子式：$\begin{vmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{vmatrix} = 2 - 1 > 0$

3阶顺序主子式：$\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&2&0\\ 1&0&t \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&-1&1\\ 1&0&0\\ 1&-2&t \end{vmatrix}$

$= (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} -1&1\\ -2&t \end{vmatrix} = -(-t+2)>0$

所以，t>2

证明：A的特征值$\lambda_i > 0$，$A^{-1}$的特征值$\frac{1}{\lambda_i} > 0$

证明：A的特征值$\lambda_i > 0$，$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，所以$A^* =|A|A^{-1}$

所以$A^*$的特征值是$\frac{|A|}{\lambda_i}$，因为|A|大于0，所以$A^*$的特征值也大于0

证明：因为$\lambda_i > 0$，所以$\lambda_i^k > 0$

证明：任给X != 0，$X^T(A+B)X = X^TAX + X^TBX$，左半部分大于0，右半部分大于等于0，所以A+B>0

证明：因为f(X) > 0，X != 0

$(x_1x_2...x_n) \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ {\vdots}\\ x_n \end{pmatrix}$

分别代入(1,0,0...,0)、(0,1,0...,0)、...、(0,0,0...,1)，求得$a_{ii}>0$