矩阵的特征值与特征向量

A阶方阵、数$\lambda$，若存在非0列向量α，使得Aα = $\lambda \alpha$

那么$\lambda$就叫一个特征值，α是对应于$\lambda$的特征向量（特征值可以为0，特征向量不能为0）

• $\lambda E - A$叫：特征矩阵
• $|\lambda E - A|$叫：特征多项式
• $|\lambda E - A| = 0$叫：特征方程
• $\lambda$是特征方程的根，所以特征值也可以叫作：特征根

证：若α（α != 0），既是$\lambda_1$也是$\lambda_2$（$\lambda_1 != \lambda_2$）的特征向量

因为，$A\alpha = \lambda_1 \alpha \quad A\alpha = \lambda_2 \alpha$

所以，$\lambda_1 \alpha = \lambda_2 \alpha \quad (\lambda_1-\lambda_2)\alpha = 0$

所以，$\lambda_1$ 必定等于 $\lambda_2$

证：$A(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2) = c_1 A \alpha_1 + c_2 A \alpha_2$

因为，$A \alpha_1 = \lambda \alpha_1 \quad A \alpha_2 = \lambda \alpha_2$

所以，$c_1 \lambda \alpha_1 + c_2 \lambda \alpha_2 = \lambda(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2)$

所以，$A(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2) = \lambda(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2)$

计算题（一）

$A = \begin{pmatrix} -1&1&0\\ -4&3&0\\ 1&0&2 \end{pmatrix}$

$\lambda E - A = \begin{pmatrix} {\lambda}&0&0\\ 0&{\lambda}&0\\ 0&0&{\lambda} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1&1&0\\ -4&3&0\\ 1&0&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\lambda + 1}&-1&0\\ 4&{\lambda - 3}&0\\ -1&0&{\lambda - 2} \end{pmatrix}$

$| \lambda E - A | = \begin{vmatrix} {\lambda + 1}&-1&0\\ 4&{\lambda - 3}&0\\ -1&0&{\lambda - 2} \end{vmatrix}$

像这样的行列式，尽量不要完全展开，因为展开后得到的是一个三次方程

$(\lambda - 2) (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} {\lambda + 1}&-1\\ 4&{\lambda - 3} \end{vmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda - 1)$

得，$\lambda_1 = \lambda_2 = 1 \quad \lambda_3 = 2$

当，$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$时，$\lambda E - A = \begin{pmatrix} 2&-1&0\\ 4&-2&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}$

解齐次线性方程组（注意：α != 0）...

当，$\lambda_3 = 2$时，$\lambda E - A = \begin{pmatrix} 3&-1&0\\ 4&-1&0\\ -1&0&0 \end{pmatrix}$

解齐次线性方程组（注意：α != 0）...

计算题（二）

$A = \begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&-2&4\\ 2&4&-2 \end{pmatrix}$

$| \lambda - A | = \begin{vmatrix} {\lambda-1}&2&-2\\ 2&{\lambda+2}&-4\\ -2&-4&{\lambda+2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\lambda-1}&2&-2\\ 2&{\lambda+2}&-4\\ 0&{\lambda-2}&{\lambda-2} \end{vmatrix} = (\lambda-2) \begin{vmatrix} {\lambda-1}&2&-2\\ 2&{\lambda+2}&-4\\ 0&1&1 \end{vmatrix}$

经过计算后，得：$(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda+7)$

所以，$\lambda_1 = -7 \quad \lambda_2=\lambda_3=2$

当，$\lambda_1 = -7 \quad \lambda - A = \begin{bmatrix} -8&2&-2\\ 2&-5&-4\\ -2&-4&-5 \end{bmatrix}$

解齐次线性方程组（注意：α != 0）...

当，$\lambda_2 = \lambda_3 = 2 \quad \lambda - A = \begin{bmatrix} 1&2&-2\\ 2&4&-4\\ -2&-4&4 \end{bmatrix}$

解齐次线性方程组（注意：α != 0）...

特征值和特征向量的基本性质

证：$|\lambda E - A^T| = |\lambda E^T - A^T| = |(\lambda E - A)^T| = |\lambda E - A|$

性质2：

1. $\sum | a_{ij}| < 1$，i=1,2,...,n，A的每行元素绝对值之和小于1
2. $\sum | a_{ij}| < 1$，j=1,2,...,n，A的每列元素绝对值之和小于1

则：$|\lambda_k| < 1$（这里加模的原因是特征值有可能是复数）

证：$| \lambda E - A| = \begin{bmatrix} {\lambda - a_{11}}&{-a_{12}}&{\cdots}&{-a_{1n}}\\ {-a_{21}}&{\lambda -a_{22}}&{\cdots}&{-a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {-a_{n1}}&{-a_{n2}}&{\cdots}&{\lambda - a_{nn}} \end{bmatrix}$

$\lambda$最高为n次，展开的话，其中一项为：$(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22})...(\lambda - a_{nn})$

一、$= \lambda^n - (a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})\lambda^{n-1} + ... + (-1)^n|A|$

$\lambda^{n-1}$只有在主对角线展开的那项上能取到，以$a_{11}$不取，取$a_{12}$为例，那么$a_{22}$就不能取，只能取$a_{21}$，那么不取对角线的话最高只能取到$\lambda^{n-2}$

常数项$(-1)^n|A|$，由$\lambda = 0$代入得出，$| \lambda E - A| = |-A| = (-1)^n|A|$

因为特征值是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，所以可以写成：$|\lambda - A| = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)...(\lambda - \lambda_n)$

二、$= \lambda^n - (\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n)\lambda^{n-1}+...+(-1)^n(\lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n)$

一、二每项是一一对应的，所以

• $\lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}$
• $\lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n = |A|$

$\displaystyle\sum_{i=1}^n a_{ii}$ 叫作矩阵的迹，tr(A)

因为，$\lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n = |A|$，所以任意一个$\lambda=0$，则$|A| = 0$，则A不可逆（A可逆的充要条件|A| != 0）

证明：m=1，因为$\alpha_1 != 0$，所以线性无关成立（单个的非0向量线性无关）

假设对s-1成立，即：$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1}$成立

假设对s成立，设$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_s \alpha_s = 0$

同时左乘A，$k_1 A \alpha_1 + k_2 A \alpha_2 + ... + k_s A \alpha_s = 0$

所以，$k_1 \lambda \alpha_1 + k_2 \lambda \alpha_2 + ... + k_s \lambda \alpha_s = 0$

同时左乘$\lambda_s$，$k_1 \lambda_s \alpha_1 + k_2 \lambda_s \alpha_2 + ... + k_s \lambda_s \alpha_s = 0$

两式相减，$k_1(\lambda_1 - \lambda_s) \alpha_1 + k_2(\lambda_2 - \lambda_s) \alpha_2 + ... + k_{s-1}(\lambda_{s-1} - \lambda_s) \alpha_{s-1} = 0$

相减后正好把s项消除了，可以用上面假设s-1成立的条件了，所以$k_1(\lambda_1 - \lambda_s),k_2(\lambda_2 - \lambda_s),...,k_{s-1}(\lambda_{s-1} - \lambda_s) = 0$

因为特征值互不相同，所以$\lambda_1 - \lambda_s,\lambda_2 - \lambda_s,...,\lambda_{s-1} - \lambda_s != 0$，只能是$k_1,k2,...,k_{s-1} = 0$

代入对s成立的公式，$k_s \alpha_s = 0$，因为$\alpha_s != 0$，所以$k_s=0$

性质5：n阶方阵A互不相同的特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$，各自对应的特征向量线性无关，则所有的放在一起也是线性无关的

各自线性无关是什么意思？比如：$\lambda_1$对应的$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，$\lambda_2$对应的$\alpha_3$线性无关，$\lambda_3$对应的$\alpha_4,\alpha_5,\alpha_6$线性无关

性质4和性质5的区别，性质4每个特征值对应的特征向量就一个，性质5每个特征值对应的特征向量不止一个

总结：k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数<=k，n阶矩阵A，所有线性无关的特征向量的个数<=n个

举例：假设A是6阶方阵，$\lambda=1$（3重特征根，线性无关的特征向量个数<=3个）、$\lambda=0$（2重，<=2个）、$\lambda=5$（单，一个）

举例：$3\lambda$是3A的特征值，因为$A \alpha = \lambda \alpha$（一个方阵乘以α等于一个数乘以α），$(3A) \alpha = (3\lambda) \alpha$，把$(3A)$看成一个方阵、把$(3\lambda)$看成一个数即可

举例：$A \alpha = \lambda \alpha$，同时左乘A，$A^2 \alpha = \lambda A \alpha$，把右边的$A \alpha$再套一次，$A^2 \alpha = \lambda^2 \alpha$

举例：2是A的特征值，问：谁是$A^5+6A^2+A+3E$的特征值，$2^5$是$A^5$的特征值（$A^5 \alpha = 2^5 \alpha$）

同理：$2^2$是$A^2$的特征值（$6A^2 \alpha = 6 \times 2^2 \alpha$）

$\begin{cases} A^5 \alpha = 2^5 \alpha\\ 6A^2 \alpha = 6 \times 2^2 \alpha\\ A \alpha = 2 \alpha\\ 3E \alpha = 3 \alpha \end{cases}$

$(A^5 + 6A^2 + A + 3E) \alpha = (2^5 + 6 \times 2^2 + 2 + 3) \alpha$

所以，$A^5+6A^2+A+3E$的特征值是$2^5 + 6 \times 2^2 + 2 + 3 = 61$

$A \alpha = \lambda \alpha$，同时左乘$A^{-1}$得$\alpha = \lambda A^{-1} \alpha$，再除以$\lambda$得$A^{-1} \alpha = \frac{1}{\lambda} \alpha$

因为$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，所以$\frac{1}{|A|}A^* \alpha = \frac{1}{\lambda} \alpha$，同时乘以|A|得$A^* \alpha = \frac{|A|}{\lambda} \alpha$

计算题（三）

A是四阶方阵，|3E+A|=0，$AA^T=2E$，|A|<0，求$A^*$的一个特征值

$|-(-3E - A)| = (-1)^4|-3E - A|= 0$，所以A的一个特征值就是-3

因为$A^*$ 的特征值是 $\frac{1}{\lambda}|A|$，所以算出|A|就行了

$AA^T=2E = |A| \times |A^T|=|2E|$，所以$|A|^2 = 2^4 |E| = 16$

又因为|A|<0，所以|A|=-4，所以$A^*$的特征值等于$\frac{1}{-3} \times (-4) = \frac{4}{3}$

计算题（四）

$A = \begin{pmatrix} 1&-3&3\\ 3&a&3\\ 6&-6&b \end{pmatrix}$，$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = 4$，$\lambda_3$，求：a、b、$\lambda$各取几

优先使用：特征值相加等于A的迹：$-2+4+\lambda_3=1+a+b$

也可使用：特征值相乘等于A的行列式：$-2 \times 4 \times \lambda_3=\begin{vmatrix} 1&-3&3\\ 3&a&3\\ 6&-6&b \end{vmatrix}$

代入$\lambda_1$和$\lambda_2$

$|\lambda_1 E - A| = \begin{vmatrix} -3&3&-3\\ -3&-2-a&-3\\ -6&6&-2-b \end{vmatrix} = 3(5+a)(4-b)=0$

$|\lambda_2 E - A| = \begin{vmatrix} 3&3&-3\\ -3&4-a&-3\\ -6&6&4-b \end{vmatrix}$

最终求得：a=-5，b=4，$\lambda_3=-2$