高等数学

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集合

集合：一些确定的对象或事物组成

列举法：{张三,李四,王五}

描述法：{2n-1 | n < 6，n是自然数}

• 属于：$\in$，元素和集合的关系
• 包含于：$\subset$，集合（子集）与集合（父集）的关系
• 其他
  • 包含于：$\subseteq$、$\subset$
  • 包含：$\supseteq$、$\supset$
  • 空集：$\varnothing$，是任何集合的子集
  • 并集：$\cup$，$A \cup B = B \cup A$
  • 交集：$\cap$，$A \cap B = B \cap A$
  • 全集：Ω
  • 补集（余集）：$\overline A =$ Ω - A（把Ω中A的部分扣掉）

常用集合符号

• 自然数：N
• 整数：Z
• 有理数：Q
• 实数：R
• 正实数：$R^+$
• 负实数：$R^-$
• 非0实数：$R^*$

$A \subset B, B \subset A$ => A = B

A - B = 把A中A和B的公共部分扣掉

分配率

• $A \cap ( B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
• $A \cup ( B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

对偶率

• $\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B$
• $\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B$

直积（笛卡尔积）

$A \times B = \{ (a,b) | a \in A , b \in B \}$，(a,b)为有序对

A = {1,2}，B={6,66,666}

$A \times B = \{ (1,6),(1,66),(1,666),(2,6),(2,66),(2,666) \}$

$B \times A = \{ (6,1),(66,1),(666,1),(6,2),(66,2),(666,2) \}$

区间

• 开区间：(a,b)
• 闭区间：[a,b]
• 左开右闭、左闭右开：(a,b],[a,b)

含 ∞ 的区间叫无限区间

邻域

$U(a,\delta ) = \{ x | a - \delta < x < a + \delta \}$，点a称为这个邻域的中心，$\delta$称为这个邻域的半径

去心邻域，把中心点去掉。$U(\hat a,\delta ) = \{ x | 0 < |x- \hat a| < \delta \}$

映射

X、Y是非空集合，法则f，对X中每个元素x，都有唯一的y与之对应，那么f就叫映射

记作： f:X->Y（Y叫像、对应的X叫原像）。X：定义域（$D_f$）（Domain） Y：值域（$R_f$）（Range）

映射三要素：X、f、$R_f$，X通过f法则映射的值域包含于Y（$R_f \subset Y$）但不一定等于Y

$x \in X$，对应的y是唯一（两个x可以对应一个y，但是一个x不能对应2个y）

定义：满射（$R_f = Y$）

定义：单射（不允许两个x对应一个y）， $x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)$

定义：一一映射，既是单射又是满射（X、Y里面的元素数量是一样多的）

定义：逆映射，设：f:X->Y是单射，每个$y \in R_f$，都有唯一的$x \in X$，$g:R_f->X$，记作：$f^{-1}$，$D_f^{-1}=R_f$，$R_f^{-1}=X$

定义：复合映射，假设：$g:X->Y_1 \quad f:Y_2->Z$并且$Y_1 \subset Y_2 \quad x \in X$，$f[g(x)] \in Z$，fｏg:X->Z，$R_g \subset D_f$

函数

映射是元素和集合的关系，函数是集合和集合的关系

• 常量：1、5、-3、a...
• 变量：x
• 定义域：D，记作：$D_f$
• 值域：R，记作：$R_f$（值域R是Range与实数R是不一样的）

$D \subset R$，定义域包含于实数集，f:D->R，定义域到实数集的映射。$y=f(x) , x \in D$

$x \in D_f$，f:x->y，每个x都有唯一的y与之对应

$R_f = f(D)$

f：规则，f(x)函数值

两要素：$D_f$、f

函数相同：定义域和对应关系相同

• $\ln x^2 != 2 \ln x$，因为定义域不同，前者是x!=0，后者是x>0

$f(x+1)=x^2-x$，求：f(x)

• 解法1（换元）：设x+1=t，$f(t)=(t-1)^2-(t-1)=(t-1)(t-2)$，所以：f(x)=(x-1)(x-2)
• 解法2（凑）：f(x+1)=x(x-1)=(x+1-1)(x+1-2)，所以：f(x)=(x-1)(x-2)

函数表示的3种方法：表格法、图形法、解析式法（公式法）

y=sngx（符号函数，x>0等于1，x=0等于0，x<0等于-1）

y = [x]：不超过x的最大整数（向下取整），[1.5]=1、[-1.5]=-2

周期性

存在正数l，使得：f(x+l)=f(x)，l通常指最小周期，并非每个周期函数都有最小周期

y=sinx，周期：2π

$D(x) = \begin{cases} {1 \quad\quad x \in Q}\\ {0 \quad\quad x \in Q^c} \end{cases}$

不存在最小周期（任何正有理数r都是周期）（任何有理数代入都是1，任何无理数代入都是0）

奇偶性

• 偶：f(x)=f(-x)，关于y轴对称
• 奇：-f(x)=f(-x)，关于原点对称

有界性

• 上界：存在$k_1$，使得：$f(x)<=k_1$，那么$k_1$就是一个上界
• 下界：存在$k_2$，使得：$f(x)>=k_2$，那么$k_2$就是一个下界
• 有界：存在正数M，使得：|f(x)|<=M
• 无界：任给正数M，存在 $x_1 \in X$，使得：$|f(x_1)|>M$

单调性

• 单调递增：$x_1>x_2 => f(x_1) > f(x_2)$
• 单调递减：$x_1>x_2 => f(x_1) < f(x_2)$

反函数

设：f:D->f(D)单射，$f^{-1}:f(D)$->D

f单调且单射，$f^{-1}$必存在且也为单调

• f单调递增，$f^{-1}$单调递增
• f单调递减，$f^{-1}$单调递减

f与$f^{-1}$关于y=x对称

运算（f(x)、g(x)，$D_f$、$D_g$，D=$D_f \cap D_g != \varnothing$）

• $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
• $(fg)(x) = f(x)g(x)$
• $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} , g(x) != 0$

复合函数

y=f(t)，t=g(x)，y=f(g(x))，t叫中间变量

$R_g$必须落在$D_f$上

初等函数

• 幂：$y=x^{\mu}$
• 指数：$y=a^x$
• 对数：$y=\log_a^x,\log_e^x=\ln x,log_{10}^x=\lg x$
• 有限次的运算或复合（$f_i(x)$都是基本初等函数，那么$f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)$是初等函数，注意：必须是有限次）